在2017未來科學大獎頒獎典禮暨未來論壇年會上，“未來科學大獎-數學與計算機科學獎”獲得者、北京大學長江特聘教授許晨陽在現場做了分享。

　　根據夏志宏在現場介紹，許晨陽于1981年出生于重慶，在北京大學獲得了學士，碩士學位以后去美國普林斯敦大學獲得的博士學位，并在MIT以及尤他大學工作了一段時間后在2012年回到了北京。在北京國際數學中心工作，許晨陽感興趣的研究方向是代數幾何。

　　公開資料顯示，2014年許晨陽獲得國家杰出青年科學基金？ ，并被評為北京大學長江特聘教授。

　　以下內容為許晨陽在現場分享：

　　首先感謝各位，今天我給大家講的是數學中語言的思考，一般來講當一個數學家要給公眾報告的時候，總是往往比較困難的事情，有一次我有一個外國同事，他給一個公眾報告，我就去上網看他的公眾報告怎么樣，我覺得他講得很好，講得很有意思。我就去祝賀他，我說你這個公眾報告很有意思，作為數學家來講懂得很多，他說這沒問題，他說這是一個問題，如果一個公眾報告數學家懂了，別人不是太懂。所以我盡量把我的公眾報告放在這個非數學家可以理解的范圍內，最后我會講一點我的工作。

　　今天我談論的主題是數學中語言的思考。我們都知道語言是人類文明的基礎載體。我們從小就經常思考一個問題，我們的知識里面有多少是因為我們的語言構成而影響的。當然狹義的語言之外，人類還發言出的很多的廣意語言，比如說話數學和音樂，數學是幫助人類理解發現自然界很多的結構，比如說大小我們用到算術，形狀上我們用到了幾何，變化上還有微積分，有的時候我會想音樂是幫助我們理解什么樣的現象，是不是有聽眾可以告訴我。雖然我們說數學是人類的一種語言，實際上我們從事數學的創造過程中，我們經常發現的一件事是人類實際上是人類發現數學而不是創造了數學，數學實際上在很多時候我們感覺它隱藏在客觀的世界之內，而我們只是數學家通過思考，通過工作去發現它。

　　所以，因為數學是一個非常客觀的，我們感覺數學是非常客觀世界里面隱藏的東西，所以我們經常想有外星文明的話，他們是不是有同樣的數學，如果真的有外星文明，我們比較一個外星文明和地球文明之間的文明的相似度，數學家是其中很高一部分。我們也會問是不是有相同的物理定理，這可能也有很高的相似部分，我們和外星人是不是有相同的生物知識，這個我就不確定了。

　　數學是一廣義的語言，所以我想說數學本身的致用就是語言的發展，接下來我說一個例子，就是代數幾何，講代數之前我們先講幾何，歐幾里得的幾何原本是現代數學發展的基石，而且我昨天在討論會上才知道，我以前就知道歐幾里得的幾何原本是除了圣經以外在世界說發行量第二大的刊物，昨天討論會上我才知道拿坡侖打仗的時候，林肯的打仗的時候，他們包里也都有幾何的原本，所以我才知道幾何的學習是受教育人的基本要求。

　　我們知道人類不光是發現了平面幾何，后來才發現了不平坦的幾何，這個建筑是在巴塞羅那的米拉之家，在現代技術里面才有這種彎曲，可能因為古代建筑立面沒有意識到不平坦幾何，所以他們建設建筑的時候不知道用什么樣的數學知識解決他們的建筑問題。

　　那么，刻畫彎曲程度的數學概念，我們稱為曲率，這是最早發現是偉大的數學家高斯，然后一般的情況下是由黎曼提出來的，他們倆都是偉大的數學家，高斯的圖像是德國的10馬克，現在已經不再用的，我想說的是在德國我們可以看到科學和商業的結合，作為十馬克的鈔票為例子。當然我們可以想象我們的曲面，如果有這樣的曲率的話，我們可以想一個同樣的空間，他可能在有一些地方是曲率是正的，有的地方曲率是平的，有的地方曲率是負的，這個龐加萊定理告訴你我們給定一個曲率可以進行度量，使得這個曲率一定是正的，出出為正1，要么一定是平的，要么是負的。我們怎么想象這個曲率是正的，平的，負的區別呢？我們小時候學過平面幾何，我們知道三角形內角和是180度！那是歐式幾何的特點，如果考慮正曲率的話，有一個三角形，那個和是大于180度的，如果考慮負曲率圖形的話，三角形內角和是小180度的，這是一個典型的非歐幾何。

　　下面我把幾何講到這里，我再回過頭講，我講這個素論，這是我們最有名的定理費馬大定理，我們讀書的時候還是猜想，上中學的時候還嘗試著解決，當然后來因為我中學還沒有讀完就已經被解決了，他的工作是建立在三百多頁的，他自己兩篇論文有三百多頁和千人的工作基礎之上的，費馬大定理說有這么一個方程，它沒有任何的整數解，現在我們看一下這個方程，X方加Y的方等于Z的方，為什么大于等于3的時候會沒有解，為什么等于2的時候我們知道它有無窮多的解，現在我們知道要去解一個方程的整數解往往很困難的一件事，所以現在我們首先退而求其次，我們看復數解，我們知道N等于2的時候，解構是球面，是正曲的東西，N等于3的時候是環面，零曲率東西，大于3的時候，是負曲率的東西。所以我們知道這個N等于3為什么這么關鍵，因為正好是正曲率和負曲率之間的區別。

　　當然，我想證明費馬大定理很困難，但是說這個方程完全沒有解是很困難的，但是這個定理說，如果一個方程有復數解對應的是負曲率，那么對于方程的解的個數是有線的，我們N大于3的時候，對應負數解的曲率一定是負的曲率。這個告訴你N大于3的時候，這個方程的解是有限多的解，再到沒有解，這還是一個很困難的過程。但是這個定理他說的，不光是針對這個方程，而是對任何一個方程，只要對應這個曲率是負曲率，方程都是有限的。

　　所以從這個定理中可以看出這個對應解的方程，上面有一個負曲率和它在整數解之間的關系有非常深刻的關系，我們需要有一種語言，把這種關系給統一起來，所以這個就是怎么樣代數幾何。代數幾何從幾何角度研究方程或者是方程組的解。我們要研究什么樣的方程呢？我們一般叫做多項式方程，左面和右邊各寫了一個多項式，所謂的多項式是我們有變源，把變源可以加也可以減，得到這樣的方程，我們稱之為多項式方程，第一個是有四個變源，三次的方程，是Cayley曲面，右邊是費馬方程獲得了丘三維族，為什么我們用代數方法來解方程呢？這里有一句話，他說代數是魔鬼給數學家的東西，魔鬼說我給你一個非常有效的工具，可以對你任何一個問題給出回答，但是你作為交換要把靈魂給我，這個靈魂是什么呢？就是幾何。所以代數幾何，就是說我們想用一個代數的辦法來看幾何，我們拿代數這個工具來交換幾何的靈魂。就是代數幾何。當然我查這句話的時候，我看到了另外一句話，他怎么成為數學家的呢？他很小的時候到處去全世界旅行，不停的換外幣，換完了以后發現賺錢了，這個時候他爸媽就意識到了他可能會成為一個數學家。

　　那么，代數幾何的革命，是大概在上個世紀的50年代，在這里之前代數幾何是數學中的一個重要的領域，但是Grothendieck把代數幾何發展成了數學領域的核心，他是一個非常傳奇的人，他大概研究數學研究了二十年左右，第一張照片是他研究數學的時候，到80年代的時候到山上隱居，研究了三十年，2014年的時候，剛剛去世，第二張照片是隱居的時候給他拍的，第三張照片是我辦公室里面的照片。前面我說他對代數幾何有非常深刻的影響，他的影響在什么地方呢？首先是發展了概型語言，我們用代數的辦法來研究解的空間，但是他說你這么看問題的角度太小了，我們要用更大，更抽象的辦法來看，這個更大更抽象的辦法就是概型語言，這是我想數學里面語言的一次重要的發展。利用我們抽象的方式去求各種方程的解，像前面我們寫的費馬的方程，關心它的整數解和負數解，納入統一的框架下考慮，你最后考慮之后，可能還是要回到整數和負數特殊性質研究問題。但是這里之前應該用一種很統一，很龐大的框架來考慮這個問題，這個是他的思想。正是因為他從最一般的，最抽象的角度去理解問題，他反而變得最有用。所以這就是在這個體系下，代數幾何就可以在很多的廣泛的意義下使用，因為你知道這個廣泛的印象有幾何的結構或者是代數結構都可以想象嘗試把代數幾何用進去，所以就聯系了很多的學科比如說數論，前面的方程，X方加Y方等于Z方，這是數學，還有復幾何，解復算的解釋，等等。因此代數幾何成為數學里面最龐大的學科之一。經過了他的革命之后，我們應該對代數幾何思考什么問題呢，他給我們提供了非常龐大，非常抽象的語言，我們可以拿這些語言重新思考這個以前的數學問題。包括了一些很多很經典的，我們解決不了的問題，他的想法是有了這個龐大的語言之后我們可以重新的嘗試去思考解決新問題。其中一個經典的問題是在代數幾何剛剛開始的時候，就是按照這個幾何上的彎曲來分類所有代數方程的幾何空間，我們前面想過，我們在曲面的時候有三種彎曲，是正的彎曲，平坦的，負的彎曲。那么當然了，曲面是代數幾何里面為數最低的情況，因為代數都是偶數維，我們要考慮更高的情況下的分類空間，我們希望分類空間是按照他有多么彎曲來分類。

　　現在回到我研究的雙有理幾何，就是這么一種分類的思想，你給我任意一種解的空間，我嘗試去分解成基本的模塊，每一個模塊上要么是正的，要么是負的，要么是平坦的。所以換句話說你給我一個很隨機的，任意的解的空間，我希望有一種辦法去理解，這種理解辦法是說我希望首先據理解哪些是只有正的，哪些是負的，哪些是0的，我理解這三種非常特殊的類型，我理解這三種類型之后，我再去理解對于一般的解的空間，我怎么樣可以用三種基本類型把這一種的平搭起來，像玩樂高積木一樣，這三種空間像三種基本的模塊，這個幾何就是說我們希望理解大的空間怎么樣被模塊搭起來的，每個模塊會成為這個極小模型。

　　這個極小模型又被稱為森綱領，右邊是日本的數學家，他用這個復數三維的時候獲得了菲爾茲獎，我剛剛說代數幾何的圍數是偶數，是10的維數，所以復數圍數等于2的時候，這個等于4，這是現實的空間，即便是復數等于2的時候是非常有趣，非常難，非常深刻的問題了。這個雙維幾何可以想象成一種比較粗糙，比較基本的分類，這種特別粗糙，特別基本的分類意義上，對我們的四維空間，在二維的時候，這個被意大利科學家一百多前年完成的，當負的維數大于等于3的時候，我們不大理解大于等于2的時候情況，在大于等于3的時候在四十年前有了突破性的想法，那個時候開始，我們就建立了所謂的極小模型，一般在數學里面有一個東西，被稱為是什么綱領的話，往往是一個很龐大的數學領域。比如說昨天我們知道的綱領，這個極小模型綱領也是其中一個綱領，沒有完全的解決，我們做出了很多的進展，所以大于等于3的時候，40年前的雙維幾何發展了四十年，中間還有很多的問題，你可以問為什么這個東西等到日本人等到十多年前的時候才發現了，因為他有一個很重要的想法，這個想法我認為是數學里最天才的想法之一，他解決這個分類的問題，他說我不能只看輔助上的解釋是不夠的，我要看這個之后的解。就是說，我們解方程，我們當然希望去解這個整數方程。